FUNGSI NON LINEAR
A. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat atau fungsi
berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah y = a + bx + cx2
, c
≠ 0.
Gambar dari suatu fungsi kuadrat dapat berupa salah satu dari empat kemungkinan
bentuk potongan kerucut: Lingkaran, elips, hiperbola atau parabola.
A.
1.1
Identifikasi Persamaan Kuadrat
Mengingat
pangkat dua dalam suatu persamaan kuadrat sesungguhnya dapat terletak pada baik
variabel x maupun variable y, bahkan pada suku xy (jika ada), maka bentuk
yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:
|
(Setidak-tidaknya
salah satu a atau b tidak sama dengan 0)
Dari bentuk yang lebih umum ini, dapat
diidentifikasikan gambar atau kurva dari persamaannya yakni sebagai berikut:
Jika
p = 0 dan a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika
p2 – 4 ab < 0, kurvanya sebuah elips
Jika
p2 – 4 ab > 0, kurvanya
sebuah hiperbola
Jika
p2 – 4 ab = 0, kurvanya
sebuah parabola
Apabila p = 0, dengan kata lain dalam persamaan kuadrat tersebut tidak
terdapat suku yang mengandung xy,
bentuk yang lebih umum tadi “berkurang” menjadi
|
Berdasarkan bentuk dengan kasus khusus ini,
identifikasinya menjadi sebagai berikut:
Jika a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika a ≠ b,
tetapi bertanda sama, kurvanya sebuah elips
Jika a dan
b berlawanan tanda, kurvanya sebuah
hiperbola
Jika a = 0
atau b = 0, tetapi tidak keduanya,
kurvanya sebuah parabola.
A.
1.2
Lingkaran
Secara
geometris, suatu lingkaran merupakan tempat atau lokus titik-titik dalam suatu
bidang datar, dengan jarak yang tetap (fixed
distance) dari suatu titik pusat (center), jarak titik-titik dari pusat
merupakan radius dari lingkaran yang disebut jari-jari lingkaran (r). Bentuk umum persamaan suatu
lingkaran adalah sebagai berikut:
|
Pusat
dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan cara memanipulasi persamaan umumnya
dengan sedemikian rupa, sehingga pada akhirnya diperoleh bentuk baku rumus
lingkaran. Bentuknya yaitu:
|
dimana i dan
j merupakan titik pusat lingkaran dan
r merupakan jari-jari lingkaran.
Contoh soal:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x2 + 3y2 – 24x – 18y – 33 = 0. Tentukan juga perpotongannya
pada masing-masing sumbu koordinat.
|
x2
+ y2 – 8x – 6y
= 11
x2
– 8x + y2 – 6y = 11
x2
– 8x + k1 + y2
– 6y + k2 = 11 + k1
+ k2
(x2
– 8x + k) + (y2 – 6y + k2) = 11 + k1 + k2
(x2
– 8x + 16) + (y2
– 6y + 9) = 11 + 16 + 9
(x – 4)
2 + (y – 3) 2 = 62
i j r2
Pusat lingkarannya adalah titik (4,3), jari-jari =
6.
|
3x2
–
24x – 33 = 0
x2
– 8x – 11 = 0
|
3y2
–
18y – 33 = 0
y2
– 6y – 11 = 1
Jadi, lingkaran tersebut memomtong sumbu –x pada posisi x = 9,19 dan x =
–1,19 serta memotong sumbu –y pada kedudukan y = 7,47 dan y=1,47
A.
1.3
Elips
Elips
ialah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus
selalu konstan. Sebuah elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak
lurus; yang panjang disebut sumbu mayor,
sedangkan yang pendek disebut sumbu minor.
Fokus elips ialah sembarang titik yang terletak pada sumbu elips. Titik potong
antara sumbu-sumbu sebuah elips merupakan pusat elips yang bersangkutan.
Bentuk umum persamaan elips yaitu:
|
a standar
tetapi tidak sama besar dengan b
Pusat dan jari-jari elips data dicari dengan cara
memanipulasi persamaan umumnya sedemikian rupa, sehingga, pada akhirnya
diperoleh bentuk baku rumus elips yaitu:
|
dimana i dan
j mencerminkan koordinat pusat elips
serta r, dan r2 adalah jari-jarinya. Patut dicatat bahwa jari-jari
panjang = setengah sumbu mayor, sedangkan jari-jari pendek = setengah sumbu
minor.
Contoh soal:
Tentukan pusat dan
jari-jari elips 8x2 + 2y2 – 32x – 12y + 18 = 0.
Tentukan juga
perpotongannya, pada masing-masing sumbu koordinat.
|
4x2 + y2 – 16x – 6y = –9
4x2 – 16x + y2 + 6y = –9
4x2 – 16x + k1 + y2 – 6y + k2 = –9 + k1
+ k2
(4x2 – 16x + 16)
+ (y2 – 6y + 9) = –9 + 16 + 9
|
(x – 2) 2
+ (y – 3) 2 = 1
4 16
(x – 2) 2
+ (y – 3) 2 = 1
22 42
|
r1
= 2, r2 = 4
Perpotongan
dengan sumbu –x: y = 0
8x2 – 32x + 18 = 0
dengan rumus abc
diperoleh x1 = 3,32 dan x2 = 0,68
Perpotongan dengan
sumbu –y: x = 0
2y2 – 12y + 18 = 0 (y – 3)2
y2 – 6y +
9 = 0 y1 = y2 = 3
A.
1.4
Hiperbola
Hiperbola ialah
tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu
konstan. Bentuk umum persamaan hiperbola:
|
a
berlawanan tanda dengan b
Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara
memanipulasi persamaan umumnya sedemikian rupa, sehingga pada akhirnya
diperoleh bentuk baku rumus hiperbola.
Rumusnya yaitu:
|
|
Atau
Sumbu lintang // sumbu –x Sumbu
lintang // sumbu –y
Persamaan
untuk asimtot-asimtotnya dapat dicari melalui bentuk baku rumus diatas, yaitu :
|
|
atau
A.
1.5
Parabola
Parabola ialah tempat kedudukan
titik-titik yang berjarak sama terhadapa sebuah titik fokus dan sebuah garis
lurus yang disebut direktris. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri
dan sebuah titik ekstrim. Secara umum, persamaan sebuah parabola apat
dituliskan sebagai
|
Salah satu a atau b (tetapi tidak keduanya) sama dengan nol.
Dengan demikian, bentuk umum persamaan parabola
adalah:
|
|
Sumbu
simetri // sumbu horizontal
Dimana
a ± 0
|
B. Penerapan dalam bidang Ekonomi
B.
1.1
Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan pasar
|
|
|
Contoh soal :
Fungsi
permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 19 - P2 . Sedangkan penawarannya Qs = -8 + 2 P2. Berapa harga kesimbangan dan jumlah keseimbangan
yang tercipta dipasar?
Kesimbangan pasar: Qd = Qs
19
– P2 = –8 + 2 P2
27
= 3 P2, P2 = 9,
P = 3
Q = 19 - P2 = 19 – 32 = 10
Jadi,
Pe
= 3 dan Qe = 10
B.
1.2
Fungsi Biaya
Biaya Tetap
|
FC
= k (k :konstanta)
|
Biaya Variabel
|
VC
= J (Q)
|
Biaya Total
|
C
= FC + VC = k + f(Q) = c(Q)
|
Biaya Tetap rata-rata
|
AFC
=
|
Biaya Variabel
|
AVC
=
|
Biaya Rata-rata
|
AVC
= = AFC+
AVC
|
Biaya Marjinal
|
MC
=
|
Bentuk
non-linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolic dan
fungsi kubik.
1. Biaya
total merupakan fungsi kuadrat parabolic
Andaikan C = aQ2
– bQ + c
VC FC
Maka:
AC = C/Q = aQ - b + c/Q
AVC = VC/Q = aQ – b
AFC = FC/Q = c/Q
2. Biaya
total merupakan fungsi kubik
Andaikan C = aQ3
– bQ2 + cQ + d
VC FC
Maka:
AC = c/Q = aQ2 – bQ + c + d/Q
AVC
= VC/Q = aQ2 – bQ + c
AFC
= FC/Q = d/Q
Contoh
Soal:
Biaya
total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunukkan oleh persamaan C = 2Q2 – 24Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum?
Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut. Hitung pula besarnya biaya tetap, biaya variabel, biaya
rata-rata, biaya tetap rata-rata
dan biaya variabel rata-rata pada tingkat
produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan dengan 1
unit, berapa besarnya biaya marjinal?
Berdasarkan
rumus titik ekstrim parabola, C minimum
terjadi pada kedudukan Q = = = 6 unit.
Besarnya
C minimum = 2Q2 – 24Q + 102
= 2(6)2
– 24(6) + 102 = 30
|
Selanjutnya,
pada Q
= 6 ini;
FC
= 102 (Konstanta)
VC =
2(6)2 – 24(6) = –72
AC =
C/Q = 30/6 = 5
AFC =
FC/Q = 102/6 = 17
AVC =
VC/Q = –72/6 = –12
Jika
Q = 7, C = 2(7)2 – 24(7) + 102 = 32
MC = = = 2
Berarti,
untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukkan biaya tambahan
(biaya marjinal) sebesar 2.
B. 1.3
Fungsi Penerimaan
Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue) yang non-linear pada
umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka ke bawah. Ini merupakan bentuk fungsi penerimaan yang lazim
dihadapai oleh seorang produsen yang beroperasi di pasar monopoli.
|
Contoh Soal:
Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang
produsen monopolis ditunjukkan oleh P =
900 – 1,5 Q. Bagaimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual
barang sebanyak 200 unit, dan berapa harga
jual per unit? Hitunglah penerimaan
marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan
penerimaan total maksimum tersebut.
P = 900 – 1,5Q R =
Q x P = 900Q – 1,5Q2
Jika Q = 200 R = 900(200) – 1,5(200)2 = 120.000
P = 900 – 1,5(200) = 600
Jika Q = 250 R = 900(250) – 1,5(250)2 = 131.250
MR = = = 225
R
= –1,5Q2 + 900Q
R maksimum
pada Q = –b/2a = –900/–3 = 300
Besarnya R maksimum
= –1,5(300)2 + 900(300) = 135.000
Note: Dalam membentuk fungsi penerimaan melalui
fungsi permintaan persamaan permintaannya harus dalam bentuk P = f(Q). Jika persamaan permintaan berebntuk Q = f(P) maka harus dibalik dulu menjadi
bentuk P = f(Q), mengingat
penerimaan merupakaan fungsi dari jumlah barang [ R = r(Q) ] dan bukan fungsi dari harga [ bukan
R = r(P) ]
B. 1.4
Keuntungan, Kerugian dan Pulang-Pokok
Ket:
Q1
dan
Q4 mencerminkan keadaan
peluang pokok. Sebab penerimaan total = pengeluaran biaya total, R = C.
Area disebelah kiri Q1 dan
disebelah kanan Q4
mencerminkan keadaan rugi. Sebab penerimaan total < pengeluaran total, R < C. Sedangkan area diantara Q1
dan Q4 mencerminkan
keadaan untung. Sebab penerimaan total > pengeluaran total, R > C. Tingkat produksi Q3
mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum.
Contoh kasus:
Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan
ditunjukkan oleh persamaan R = –0,10Q2 + 20Q , sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan ini, jika dihasilkan dan
terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.
π = R – C = –0,10Q2 + 20Q –
0,25Q3 + 3Q2 – 7Q – 20
π = –0,25Q3
+ 2,90Q2 + 13Q – 20
Q
= 10 π = –0,25(10)3
+ 2,90(10)2 + 13(10) – 20
= –250 + 290 + 130 – 20
= 150 (Keuntungan)
Q
= 20 π = –0,25(20)3
+ 2,90(20)2 + 13(20) – 20
= 2000 + 1160 + 260 –
20 = -600 (Kerugian)
B. 1.5 Fungsi Utilitas
Fungsi
Utilitas menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh
seseorang dari mengkonsumsikan suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin
banyak suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian
mencapai puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu
justru menjadi berkurang atau bahkan negative bila jumlah barang yang
dikonsumsi terus menerus ditambah.
|
Utilitas total mencapai
puncaknya ketika utilitas marjinal nol dan berkurang ketika utilitas marjinal
negative.
B. 1.6
Fungsi Produksi
Kegiatan produksi menyangkut dua persoalan
yang mempunyai hubungan fungsional atau saling memengaruhi, yaitu:
1. Berapa output yang harus diproduksikan, dan
2. Berapa factor-faktor produksi (input) yang akan
dipergunakan.
Dengan demikian, yang disebut fungsi produksi adalah
hubungan fungsional (sebab akibat) antara input dan output. Dalam hal ini input sebagai sebab, dan output sebagai akibat. Jadi, fungsi produksi adalah suatu fungsi
atau persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output dengan tingkat
(kombinasi) penggunaan input-input.[1]
Secara matematis fungsi produksi dapat meumuskan dengan notasi P = f(X)
Produksi
total :
|
P = f(X)
|
Produksi
rata-rata :
|
AP =
|
Produk
Marjinal :
|
MP =
|
Kurva produk total P mencapai puncaknya tepat ketika kurva
produk marjinal MP = 0, sedangkan MP mencapai puncaknya tepat pada posisi
titik belok kurva, P. Disamping itu
kurva MP memotong kurva AP pada posisi maksimum, AP.
Contoh kasus:
Fungsi produksi
yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh P = 9X2 – X3. Bentuklah persamaan
produk rata-ratanya serta hitunglah produk total dan produk rata-rata tersebut
jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa produk marjinalnya jika masukan
yang digunakan ditambah 1 unit.
P = 9X2 – X3 AP = P/X = 9X – X2
Untuk X = 6 P = 9(6)2 – (6)3 =
108
AP = 9(6) – (6)2 = 18
Untuk X = 7 P = 9(7)2 – (7)3 =
98
MP = = = -10
Produk marjinal
negative berarti masukan tambahan yang digunakan justru mengurangi hasil
produk.
B. 1.7
Kurva Transformasi Produk
Kurva Transformasi Produk ialah
kurva yang menunjukkan pilihan kombinasi jumlah produksi dua macam barang dengan
menggunakan masukan yang sama sejumlah tertentu.
|
|
Gambar x dan y mencerminkan jumlah produk X dan produk Y.
Contoh kasus:
Sebuah pabrik yang menggunakan bahan baku kulit
menghasilkan sepatu dan tas. Kurva Transformasi Produk yang dihadapinya
ditunjukkan oleh persamaan 4 s2 +
4,25 t2 = 40.000. Berapa
pasang sepatu dan berapa buah tas paling banyak dapat diproduksi? Berapa pasang
sepatu dapat dibuat jika pabrik ini memproduksi 60 tas?
Jumlah sepatu terbanyak yang dapat dibuat adalah
jika pabrik tidak memproduksi tas (t = 0). Dengan perkataan lain, seluruh kulit
yang tersedia (40.000 unit) dialokasikan untuk membuat sepatu.
t
= 0 4s2 = 40.000, s2 = 10.000, s = 100 pasang
Jumlah tas terbanyak dapat dibuat:
s
= 0 6,25t2 = 40.000, t2 = 6.400, t = 80 buah
Jika t =
60
4s2 = 40.000 – 6,25(60)2
4s2 = 17.500
s2
= 4.375
s = 66,14 = 66 pasang.
B. 1.8
Model Distribusi Pendapatan Pareto
Menurut Vilfredo Pareto, jumlah penduduk dari suatu populasi a yang berpendapatan melebihin x adalah:
|
|
Contoh kasus:
Hitunglah berapa dari 8 juta penduduk DKI Jakarta
yang berpendapatan melebihi Rp 800.000,- Berapa orang yang berpendapatan antara
Rp 480.000,- dan Rp 640.000,- ? ( Kurs yang berlaku US$ 1 = Rp 2.000,- )
X
= Rp 800.000,00 = US$ 400
N
= = = 1.000 orang
x
= Rp 480.000,00 = US$ 240
N
= = = 2.152 orang
x
= Rp 640.000,00 = US$ 320
N
= = = 1.398 orang
Jadi,
terdapat 1000 orang yang berpendapatan melebihi Rp 800.000,00. Sedangkan
penduduk yang berpendapatan antara Rp 480.000,00 dan Rp 640.000,00 ada 754
orang.
[1]
http://suwandi-b10.blogspot.co.id/2014/02/makalah-matematika-bisnis.html
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy. 2012. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi; BPFE, Yogyakarta.
Budiono, Johannes. 1994. Pengantar Matematika untuk Ekonomi; PT.
Pustaka LP3ES Indonesia, Jakarta.
Supranto, J. 2005. Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis;
Ghalia Indonesia, Bogor.
http://suwandi-b10.blogspot.co.id/2014/02/makalah-matematika-bisnis.html
No comments:
Post a Comment