Matematika Ekonomi tentang Fungsi Non Linear

FUNGSI NON LINEAR

A.    Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah y = a + bx + cx² , c ≠ 0. Gambar dari suatu fungsi kuadrat dapat berupa salah satu dari empat kemungkinan bentuk potongan kerucut: Lingkaran, elips, hiperbola atau parabola.

A.    1.1 Identifikasi Persamaan Kuadrat

Mengingat pangkat dua dalam suatu persamaan kuadrat sesungguhnya dapat terletak pada baik variabel x maupun variable y, bahkan pada suku  xy (jika ada), maka bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:

	ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0

 

(Setidak-tidaknya salah satu a atau b tidak sama dengan 0)

      Dari bentuk yang lebih umum ini, dapat diidentifikasikan gambar atau kurva dari persamaannya yakni sebagai berikut:

Jika p = 0 dan a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika p² – 4 ab < 0, kurvanya sebuah elips

Jika p² – 4 ab > 0, kurvanya sebuah hiperbola

Jika p² – 4 ab = 0, kurvanya sebuah parabola

      Apabila p = 0, dengan kata lain dalam persamaan kuadrat tersebut tidak terdapat suku yang mengandung xy, bentuk yang lebih umum tadi “berkurang” menjadi

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

                                                                                      

Berdasarkan bentuk dengan kasus khusus ini, identifikasinya menjadi sebagai berikut:

Jika a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika a ≠ b, tetapi bertanda sama, kurvanya sebuah elips

Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola

Jika a = 0 atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola.

A.    1.2 Lingkaran

            Secara geometris, suatu lingkaran merupakan tempat atau lokus titik-titik dalam suatu bidang datar, dengan jarak yang tetap (fixed distance) dari suatu titik pusat (center), jarak titik-titik dari pusat merupakan radius dari lingkaran yang disebut jari-jari lingkaran (r). Bentuk umum persamaan suatu lingkaran adalah sebagai berikut:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

                                                                                                      (a  = b)

            Pusat dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan cara memanipulasi persamaan umumnya dengan sedemikian rupa, sehingga pada akhirnya diperoleh bentuk baku rumus lingkaran. Bentuknya yaitu:

	(x – i)2 + (y – j)2 =  r2

 

dimana i dan j merupakan titik pusat lingkaran dan r merupakan jari-jari lingkaran.

Contoh soal:

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x² + 3y² – 24x – 18y – 33 = 0. Tentukan juga perpotongannya pada masing-masing sumbu koordinat.

: 3

3x² + 3y² – 24x – 18y  = 33

x² + y² – 8x – 6y = 11

x² – 8x + y² – 6y = 11

x² – 8x + k₁ + y² – 6y + k₂ = 11 + k₁ + k₂

(x² – 8x + k)  + (y² – 6y + k₂) = 11 + k₁ + k₂

(x² – 8x + 16)  + (y² – 6y + 9) = 11 + 16 + 9

(x – 4) ²  + (y – 3) ² = 6²

 

    i                 j            r²

Pusat lingkarannya adalah titik (4,3), jari-jari = 6.

dengan rumus abc diperoleh     x = 9,19 dan x2 =  –1,19

Perpotongan dengan sumbu –x : y = 0

3x² – 24x – 33 = 0            

x² – 8x – 11 = 0

dengan rumus abc diperoleh     y = 7,47 dan y2 =  –1,47

Perpotongan dengan sumbu –y : x = 0

3y² – 18y – 33 = 0            

y² – 6y – 11 = 1

Jadi, lingkaran tersebut memomtong sumbu –x pada posisi x = 9,19 dan x = –1,19  serta memotong sumbu –y pada kedudukan y = 7,47 dan y=1,47

A.    1.3 Elips

            Elips ialah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Sebuah elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus; yang panjang disebut sumbu mayor, sedangkan yang pendek disebut sumbu minor. Fokus elips ialah sembarang titik yang terletak pada sumbu elips. Titik potong antara sumbu-sumbu sebuah elips merupakan pusat elips yang bersangkutan.

Bentuk umum persamaan elips yaitu:

	ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

 

a standar tetapi tidak sama besar dengan b

Pusat dan jari-jari elips data dicari dengan cara memanipulasi persamaan umumnya sedemikian rupa, sehingga, pada akhirnya diperoleh bentuk baku rumus elips yaitu:

	(x – i)2 + (y – j)2 = 1           r12                 r22

 

dimana i dan j mencerminkan koordinat pusat elips serta r, dan r₂ adalah jari-jarinya. Patut dicatat bahwa jari-jari panjang = setengah sumbu mayor, sedangkan jari-jari pendek = setengah sumbu minor.

Contoh soal:

Tentukan pusat dan jari-jari elips 8x² + 2y² – 32x – 12y + 18 = 0.

Tentukan juga perpotongannya, pada masing-masing sumbu koordinat.

: 2

8x² + 2y² – 32x – 12y = –18

4x² + y² – 16x – 6y  = –9

4x² – 16x + y² + 6y = –9

4x² – 16x + k₁ + y² – 6y + k₂    = –9 + k₁ + k₂

(4x² – 16x + 16) + (y² – 6y + 9) = –9 + 16 + 9

: 16

4(x² – 2) + (y² – 3) = 16

(x – 2) ² + (y – 3) ²  = 1

    4               16

(x – 2) ² + (y – 3) ²  = 1

    2²              4²

Pusat elipsnya adalah titik (2, 3). Karena r1 < r2 , sumbu mayor elips // sumbu-vertikal –y; r1 = jari-jari pendek dan r2 = jari-jari panjang.

i   = 2, j  = 3

r₁ = 2, r₂ = 4

Perpotongan dengan sumbu –x: y = 0

        8x² – 32x + 18 = 0

        dengan rumus abc diperoleh x₁ = 3,32 dan x₂ = 0,68

Perpotongan dengan sumbu –y: x = 0

        2y² – 12y + 18 = 0                 (y – 3)²

          y² – 6y + 9     = 0                 y₁ = y₂ = 3

A.    1.4 Hiperbola

            Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Bentuk umum persamaan hiperbola:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

 

a berlawanan tanda dengan b

Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara memanipulasi persamaan umumnya sedemikian rupa, sehingga pada akhirnya diperoleh bentuk baku rumus hiperbola.

Rumusnya yaitu:

	(x – i)2 – (y – j)2 = 1        m2                 n2		(y – j)2 – (x – i)2 = 1        n2                 m2

 

                                                Atau

Sumbu lintang // sumbu –x                   Sumbu lintang // sumbu –y

Persamaan untuk asimtot-asimtotnya dapat dicari melalui bentuk baku rumus diatas, yaitu :

	x – i = ± y – j             m                 n		y – j = ± x – i             n                 m

 

           atau

A.    1.5 Parabola

            Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadapa sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktris. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim. Secara umum, persamaan sebuah parabola apat dituliskan sebagai

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

 

Salah satu a atau b (tetapi tidak keduanya) sama dengan nol.

Dengan demikian, bentuk umum persamaan parabola adalah:

	y = ax2 + bx + c

 

y = ay2 + by + c

                                                                 Sumbu simetri // sumbu vertical

                                                                 Sumbu simetri // sumbu horizontal

Dimana a ± 0

Titik ekstrim parabola (i, j) adalah :

B.     Penerapan dalam bidang Ekonomi

B.     1.1 Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan pasar

Qd       : Jumlah permintaan Qs        : Jumlah penawaran E          : Titik keseimbangan Pe        : Harga keseimbangan Qe       : Jumlah keseimbangan

Keseimbangan Pasar

Qd = Qs

Contoh soal :

      Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 19  - P² . Sedangkan penawarannya Qs = -8 + 2 P². Berapa harga kesimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta dipasar?

Kesimbangan pasar: Qd = Qs

                                 19 – P² = –8 + 2 P²

                                 27 = 3 P², P² = 9, P = 3

                                 Q = 19 - P² = 19 – 32 = 10

                                 Jadi, Pe = 3 dan Qe = 10

B.     1.2 Fungsi Biaya

Biaya Tetap	FC = k (k :konstanta)
Biaya Variabel	VC = J (Q)
Biaya Total	C = FC + VC = k + f(Q) = c(Q)
Biaya Tetap rata-rata	AFC =
Biaya Variabel	AVC =
Biaya Rata-rata	AVC =   = AFC+ AVC
Biaya Marjinal	MC =

Bentuk non-linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolic dan fungsi kubik.

1.      Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolic

Andaikan C = aQ² – bQ + c

                          VC                FC

Maka:

                    AC = C/Q = aQ - b + c/Q

                    AVC = VC/Q = aQ – b

                    AFC = FC/Q = c/Q

2.      Biaya total merupakan fungsi kubik

Andaikan C = aQ³ – bQ² + cQ + d

                              VC                            FC

Maka:

                    AC = c/Q = aQ² – bQ + c + d/Q

                    AVC = VC/Q = aQ² – bQ + c

                    AFC = FC/Q = d/Q

Contoh Soal:

Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunukkan oleh persamaan C = 2Q² – 24Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum? Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut. Hitung pula besarnya biaya tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variabel rata-rata pada tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan dengan 1 unit, berapa besarnya biaya marjinal?

Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada kedudukan Q =  =  = 6 unit.

Besarnya C minimum = 2Q² – 24Q + 102

                                    = 2(6)² – 24(6) + 102 = 30

	C minimum dapat juga dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola, yaitu (b2 – 4ac)/ –4a; hasilnya C minimum = (242 – 4 x 2 x 102)/ –4 x 2 = 30

 

Selanjutnya, pada Q = 6 ini;

FC = 102 (Konstanta)

VC = 2(6)² – 24(6) =  –72

AC = C/Q = 30/6 = 5

AFC = FC/Q = 102/6 = 17

AVC = VC/Q = –72/6 = –12

Jika Q = 7, C = 2(7)² – 24(7) + 102 = 32

MC =  =  = 2

Berarti, untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukkan biaya tambahan (biaya marjinal) sebesar 2.

B.  1.3 Fungsi Penerimaan

Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue) yang non-linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka ke bawah. Ini merupakan bentuk fungsi penerimaan yang lazim dihadapai oleh seorang produsen yang beroperasi di pasar monopoli.

	Penerimaan total         : R = Q x P = f(Q) Penerimaan rata-rata   : AR = Penerimaan Marjinal   : MR =

 

Contoh Soal:

Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5 Q. Bagaimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200 unit, dan berapa harga jual per unit? Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum tersebut.

P = 900 – 1,5Q                 R = Q x P = 900Q – 1,5Q²

Jika Q = 200                   R = 900(200) – 1,5(200)² = 120.000

                                       P = 900 – 1,5(200) = 600

Jika Q = 250                   R = 900(250) – 1,5(250)² = 131.250

MR =  =  = 225

R = –1,5Q² + 900Q

R maksimum pada Q = –b/2a = –900/–3 = 300

Besarnya R maksimum = –1,5(300)² + 900(300) = 135.000

Note: Dalam membentuk fungsi penerimaan melalui fungsi permintaan persamaan permintaannya harus dalam bentuk P = f(Q). Jika persamaan permintaan berebntuk Q = f(P) maka harus dibalik dulu menjadi bentuk P = f(Q), mengingat penerimaan merupakaan fungsi dari jumlah barang [ R = r(Q) ] dan bukan fungsi dari harga [ bukan R = r(P) ]

  

B.  1.4 Keuntungan, Kerugian dan Pulang-Pokok

Ket:

Q₁ dan Q₄ mencerminkan keadaan peluang pokok. Sebab penerimaan total = pengeluaran biaya total, R = C. Area disebelah kiri Q₁ dan disebelah kanan Q₄ mencerminkan keadaan rugi. Sebab penerimaan total < pengeluaran total, R < C. Sedangkan area diantara Q₁ dan Q₄ mencerminkan keadaan untung. Sebab penerimaan total > pengeluaran total, R > C. Tingkat produksi Q₃ mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum.

Contoh kasus:

Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan R = –0,10Q² + 20Q , sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,25Q³ – 3Q² + 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan ini, jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.

π = R – C = –0,10Q² + 20Q – 0,25Q³ + 3Q² – 7Q – 20

π = –0,25Q³ + 2,90Q² + 13Q – 20

Q = 10                   π = –0,25(10)³ + 2,90(10)² + 13(10) – 20

                                 = –250 + 290 + 130 – 20 = 150 (Keuntungan)

Q = 20                   π = –0,25(20)³ + 2,90(20)² + 13(20) – 20

                                 = 2000 + 1160 + 260 – 20 = -600 (Kerugian)

B.  1.5 Fungsi Utilitas

Fungsi Utilitas menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsikan suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negative bila jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.

	Utilitas Total/U = f(Q) Utilitas Marjinal/MU =

 

     

      Utilitas total mencapai puncaknya ketika utilitas marjinal nol dan berkurang ketika utilitas marjinal negative.

B.  1.6 Fungsi Produksi

Kegiatan produksi menyangkut dua persoalan yang mempunyai hubungan fungsional atau saling memengaruhi, yaitu:

1.      Berapa output yang harus diproduksikan, dan

2.      Berapa factor-faktor produksi (input) yang akan dipergunakan.

Dengan demikian, yang disebut fungsi produksi adalah hubungan fungsional (sebab akibat) antara input dan output. Dalam hal ini input sebagai sebab, dan output sebagai akibat. Jadi, fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output dengan tingkat (kombinasi) penggunaan input-input.[1] Secara matematis fungsi produksi dapat meumuskan dengan notasi P = f(X)

Produksi total :	P = f(X)
Produksi rata-rata :	AP =
Produk Marjinal :	MP =

Kurva produk total P mencapai puncaknya tepat ketika kurva produk marjinal MP = 0, sedangkan MP mencapai puncaknya tepat pada posisi titik belok kurva, P. Disamping itu kurva MP memotong kurva AP  pada posisi maksimum, AP.

Contoh kasus:

Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh P = 9X² – X³. Bentuklah persamaan produk rata-ratanya serta hitunglah produk total dan produk rata-rata tersebut jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa produk marjinalnya jika masukan yang digunakan ditambah 1 unit.

P = 9X² – X³           AP = P/X = 9X – X²

Untuk X = 6           P = 9(6)² – (6)³ = 108

                              AP = 9(6) – (6)² = 18

Untuk X = 7           P = 9(7)² – (7)³ = 98

                              MP =  =  = -10

Produk marjinal negative berarti masukan tambahan yang digunakan justru mengurangi hasil produk.

B.  1.7 Kurva Transformasi Produk

Kurva Transformasi Produk ialah kurva yang menunjukkan pilihan kombinasi jumlah produksi dua macam barang dengan menggunakan masukan yang sama sejumlah tertentu.

Kurva Transformasi Produk berupa potongan elips

Kurva Transformasi Produk berupa potongan lingkaran

Gambar x  dan y  mencerminkan jumlah produk X dan produk Y.

Contoh kasus:

Sebuah pabrik yang menggunakan bahan baku kulit menghasilkan sepatu dan tas. Kurva Transformasi Produk yang dihadapinya ditunjukkan oleh persamaan 4 s² + 4,25 t² = 40.000. Berapa pasang sepatu dan berapa buah tas paling banyak dapat diproduksi? Berapa pasang sepatu dapat dibuat jika pabrik ini memproduksi 60 tas?

Jumlah sepatu terbanyak yang dapat dibuat adalah jika pabrik tidak memproduksi tas (t  = 0). Dengan perkataan lain, seluruh kulit yang tersedia (40.000 unit) dialokasikan untuk membuat sepatu.

t = 0           4s² = 40.000,               s² = 10.000,                 s = 100 pasang

Jumlah tas terbanyak dapat dibuat:

s = 0          6,25t² = 40.000,           t² = 6.400,                    t = 80 buah

Jika t = 60

     4s² = 40.000 – 6,25(60)²

     4s² = 17.500

     s²    = 4.375

     s     = 66,14 = 66 pasang.

B.  1.8 Model Distribusi Pendapatan Pareto

Menurut Vilfredo Pareto, jumlah penduduk dari suatu populasi a yang berpendapatan melebihin x adalah:

N =

Dimana b  merupakan suatu parameter atau besaran populasi tertentu. Pada umumnya berkisar 1,5.

a = Populasi total b = Parameter populasi x = Batas pendapatan tertentu N = Bagian dari populasi yang berpendapatan melebihi x

Contoh kasus:

Hitunglah berapa dari 8 juta penduduk DKI Jakarta yang berpendapatan melebihi Rp 800.000,- Berapa orang yang berpendapatan antara Rp 480.000,- dan Rp 640.000,- ? ( Kurs yang berlaku US$ 1 = Rp 2.000,- )

X = Rp 800.000,00 = US$ 400

N =  =  = 1.000 orang

x = Rp 480.000,00 = US$ 240

N =  =  = 2.152 orang

x = Rp 640.000,00 = US$ 320

N =  =  = 1.398 orang

Jadi, terdapat 1000 orang yang berpendapatan melebihi Rp 800.000,00. Sedangkan penduduk yang berpendapatan antara Rp 480.000,00 dan Rp 640.000,00 ada 754 orang.

---

[1] http://suwandi-b10.blogspot.co.id/2014/02/makalah-matematika-bisnis.html

DAFTAR PUSTAKA

         Dumairy. 2012. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi; BPFE, Yogyakarta.

        Budiono, Johannes. 1994. Pengantar Matematika untuk Ekonomi; PT. Pustaka LP3ES Indonesia, Jakarta.

         Supranto, J. 2005. Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis; Ghalia Indonesia, Bogor.

         http://suwandi-b10.blogspot.co.id/2014/02/makalah-matematika-bisnis.html